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清华笔记:计算共形几何讲义 (4)单纯同调 精选

已有 3403 次阅读 2019-4-17 09:14 |系统分类:科研笔记

这次课程,我们介绍单纯同调理论。在代数拓扑中,有单纯同调、奇异同调和de Rham同调理论。它们所用的数学工具不同,但是理论彼此等价。【1】给出了本课程的视频链接。


基本方法

代数拓扑的目的是将拓扑范畴的问题转换成代数范畴的问题,用代数方法加以解决。最为基本的问题之一就是判断两个拓扑空间是否同胚。在理想情形下,我们为每一个空间配上一系列群结构,如果这些群彼此同构,则空间拓扑同胚。但是,目前代数拓扑的方法还没有到达这一程度。同调群同构只能推出空间伦型等价。伦型等价远远弱于拓扑等价。


同调论的基本方法是将流形三角剖分,然后将子流形表示成单形的线性组合,所有的子流形构成线性空间。将拓扑算子(边缘算子)表示成线性算子(矩阵),用线性代数的方法来获取拓扑信息。


同调方法将低秩、稀疏,高度非线性的拓扑性质变换成高维空间的线性运算,非常具有启发意义。

拓扑去噪应用

图1. 曲面上的环柄圈(绿色 handle loop)、隧道圈(红色 tunnel loop)。


如图1所示,给定一个嵌在三维欧氏空间中的高亏格曲面曲面将三维欧间分为内部和外部存在一族同伦群的基底,这里亏格。直观上,其中有条圈在内部可以缩成点,但在外部中无法缩成点,它们构成外部空间的同伦群的基底,被称为是隧道圈(tunnel loop);另外条圈在外部可以缩成点,但在内部中无法缩成点,它们构成内部的同伦群的基底,被称为是环柄圈(handle loop)。环柄圈和隧道圈对于医学图像具有重要意义。

图2. 医学图像中的拓扑去噪。


如图2所示,我们用CT断层扫描技术获取直肠切面图像,经过曲面复建得到直肠曲面。由于图像分割的误差,复建的曲面有很多虚假的亏格(环柄)。在实际应用中,我们需要检测这些虚假亏格。这些环柄非常微小,用肉眼无法直接检测。唯一的方法就是通过计算拓扑方法得到,这往往依赖于曲面的环柄圈和隧道圈的算法。

单纯同调理论


相对于曲面而言,同伦群和同调群保留了相同的信息,因此彼此等价;对于三流形而言,同伦群反映的信息远远多于同调群,同伦群强于同调群。但是,同伦群本身为非阿贝尔群(非交换群),判定两个非阿贝尔群是否同构是非常繁难的问题。相反,同调群是同伦群的阿贝尔化,阿贝尔群的计算只需要线性代数。


图0.同伦群是非阿贝尔群。


如图所示,环路无法在曲面上缩成一个点,因此同伦群中,同时,我们得到。因此亏格为2的曲面的同伦群不可交换。


我们记的中心交换子群为所有形如生成的正规子群,

那么商群

为一阿贝群,即为曲面的一维下同调群。换句话说,同调群是同伦群的阿贝尔化


环路在同伦群中不是单位元,但是在同调群中却是单位元。几何上来看,将曲面分成两个连通分支,是其中一个分支的边缘。这意味着,在同调群中,边缘环路被视为单位元。


同调群概念的要义在于:边的边为空,圈和边的差别就是同调


同调群的概念


单纯复形是曲面三角剖分的直接推广,但是单纯复形可以表示更为广泛的拓扑空间,例如非流形的空间。


单纯形 给定中一般位置的个点维单纯形是这些点构成的凸包(convex hull),

我们称为单纯形的顶点。如果另外一个单纯形包含在中,,我们称的一个面。


单纯形是有定向的,每一个单纯形有两个定向,单纯形的定向由其顶点的排列给出。我们考虑数列的所有排列,它们构成对称群,其中所有由偶次对换(即只交换两个数的位置)构成的子群记为。如果排列属于,则单纯形的定向为正,反之定向为负。


通常意义下的点,线段,三角形,四面体就是0到3维的单纯形。


单纯复形 单纯形粘贴在一起就构成单纯复形。所谓一个单纯复形就是一组单纯形的并集,满足两个条件,

1.如果一个单纯形属于,那么的所有面都属于

2.如果两个单纯形都属于,那么或者它们的交集为空,或者它们的交集是它们共同的一个面。


通常意义下,曲面的三角剖分就是单纯复形。


图1. 复形上的1维和2维链。


链群 给定一个单纯复形,一个维链就是所维单纯形的线性组合,如图1所示,

,

所有的维链在加法下成一阿贝尔群(可交换群),记为,

.

其中零元为的逆元为.



图2. 边缘算子。


边缘算子 维边缘算子是链群之间的一个同态

,

作用在单纯形上

,

作用在链上

直观上,边缘算子就是剥离每个链的边界。


通过直接计算,我们可得到

亦即边的边为空



图3. 闭链和开链。


同调群 维链被称为是闭链,如果。所有的闭链构成的一个子群,记为;如果存在一个维链,满足,那么被称为是恰当链,所有恰当链构成一个子群,记为。因为边的边为空,所以恰当链必为闭链,

给定单纯复形,我们得到链复形,


具有条件



图4. 恰当闭链和非恰当闭链。


综上所述,边(恰当链)一定是圈(闭链),圈可能不是边。圈和边的差别就是同调


如图4所示,左帧显示了恰当的闭链,每一个闭链都包围着一个曲面区域,因此是边缘。右帧是非恰当的闭链,这条链并不包围任何一个曲面区域。如果我们把曲面沿着切开,我们得到一个圆筒面,圆筒面有两个边缘曲线,

但是本身并不构成圆筒面的边界。


我们将单纯复形的所有同调群放在一起,记为


同调群的计算


曲面一维同调群的基底和曲面基本群基底相同,我们可以用基本群的组合算法来计算一维同调群基底。高维同调群的算法基于线性代数的矩阵特征值和特征向量算法。


我们可以将链群视为线性空间,边缘算子是线性算子,因此可以被表示为矩阵。假设复形所有的维单纯形为

它们线性张成维链群

复形所有的维单纯形为

它们线性张成维链群

。边缘算子具有矩阵表示,

,

这里联接数是一个整数,定义如下:如果,则为0;如果的一个边缘面,,则为+1;如果的一个边缘面,,则为-1。


如此,我们构造离散拉普拉斯算子:

,

的基底是的对应于0特征根的特征向量。


这里,是整数矩阵,存在Smith 标准型(Smith Normal Form):存在可逆整数矩阵为对角阵,

这里整除,并且

是所有阶子矩阵行列式的最大公因子。


伦型不变量


单纯映射 假设是拓扑空间之间的连续映射,我们可以将M和N用单纯复形来逼近,同时映射本身可以用所谓的单纯映射来逼近。所谓单纯映射,就是说对于M中的任意一个单纯形,其像是N中的单纯形。给定一个连续映射,我们可以将M和N进一步细分(subdivision),在细分后的复形上定义单纯映射来逼近连续映射。可以证明,对于任意给定的误差,我们可以将M和N细分的足够细腻,使得单纯映射和连续映射的误差小于给定的阈值。单纯映射可以表示成分片线性映射,图中,我们显示一个单纯映射的实例,从小女孩的雕像到单位球面的形变。现实生活中,所有的动漫动画都是基于单纯映射的理论。


链映射 C和D是M和N的链复形,


单纯映射诱导了链复形之间的映射,被称为是链映射,

同时对于每一维度,单纯映射和边缘算子可交换,


因为单纯映射将闭链映为闭链,链映射诱导了同调群间的同态,


链同伦 假如映射彼此同伦,它们诱导的链映射, 满足如下条件


这里T是一系列同态,满足

这两个链映射被称为是链同伦。


是同伦,并且,那么同伦F将M中的低维链映到N中的高一维链,诱导了同态T。如下图所示,是M上的一条路径,关系式成立:




图5. 链同伦的直观解释。


我们考察所诱导的同调群间的同态,令为一闭链,则

,

因此相差一个边缘链,彼此同调。因此彼此相等。如此,我们证明了同伦映射诱导相同的同调群同态


伦型等价 假如存在连续映射,满足,并且,就是说f和g的复合同伦于N上恒同映射,g和f的复合同伦于M上的恒同映射,则我们说拓扑空间M和N同伦等价,或M和N具有相同的伦型。如上讨论,我们得出同伦等价的空间具有同构的同调群


形变收缩核 假如B是A的子空间,B是A的形变收缩核,是指B可以在保持A上各点不变的情况下连续形变到A上。这样形变收缩映射与自然包含构成了同伦等价关系。一个拓扑空间和其形变收缩核具有相同的同调群。


环柄圈和隧道圈算法

在【2】中,孙剑等给出了环柄圈和隧道圈的计算方法。这里,给定一个嵌在三维欧氏空间中的高亏格曲面曲面将三维欧间分为内部和外部存在一族同调群的基底,这里亏格。直观上,其中有条圈在内部同调于0,但在外部非同调于0,它们构成外部空间的同调群的基底,被称为是隧道圈(tunnel loop);另外条圈在外部中同调于0,但在内部中无法缩成点,它们构成内部的同伦群的基底,被称为是环柄圈(handle loop)。


计算环柄和隧道圈的核心想法有两个:过滤(filtration)和配对(pair)。一个单纯复形的过滤(filtration)是一系列嵌套的复形:

我们可以假设每一步,即添加一个单纯形。每一次我们添加一个维单纯形,有两种可能性:


1. 生成一个维非边界闭链,这时我们称为正的单形;

2.消灭掉一个维已经存在的闭链,这时我们称为负的单形。我们将被消灭掉的闭链中最后一个正单形和配对。


我们将曲面三角剖分,再取一个实心球,包含曲面。再对进行三角剖分,使得的三角剖分限制在上,等于的三角剖分。球外取一点,边界111.jpg上的每个三角形都和连成一个四面体。如此,我们得到了一个三维球面的一个三角剖分,同时得到内部、外部和曲面的三角剖分。


我们首先构造曲面的一个过滤序列,然后逐步添加单形构造内部的过滤序列,最后在添加单形,构成整个的过滤序列。

1. 在完成曲面的过滤后,存在222.jpg个没有被配对的正单形,对应着333.jpg个同调群的基底。

2. 在完成内部的过滤后,会有个正单形被配对,它们对应着个环柄圈。

3. 剩下的个正单形,对应着个隧道圈。

计算细节可以在【2】中找到。




References:

【1】http://www.iqiyi.com/w_19rtrpkd5x.html

【2】T.Dey, K. Li, J. Sun and D. Cohen-Steiner, "Computing Geometry-aware Handle and Tunnel Loops in 3D Models", SIGGRAPH 2008.


原文发布在【老顾谈几何】公众号 (2017年7月5日)



http://blog.hensb.com/blog-2472277-1173812.html

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2 田灿荣 黄永义

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